İyi soru. Aynı soru sıradan doğal sayılar, negatif sayılar, sonsuz küçükler ve çeşitli sonsuzluk dereceleri için de sorulabilir.
Matematiksel Platonizm olarak bilinen felsefe, biz bir şişe veya üç sandalye görebilirken bir veya üç rakamını göremediğimizi, dolayısıyla onların zaman ve mekanın dışında, bu sayıların var olduğu Platon'un Cenneti dışındaki bir dünyayı düşündüklerini savunur. Daha egzotik sayı kavramlarını da buraya yerleştirdiğimiz ileri sürülebilir.
Aristoteles sonsuzu düşünürken gerçek sonsuzluk ile potansiyel sonsuzluk arasında ayrım yapmış ve gerçek sonsuzlukların var olamayacağını ancak potansiyel bir sonsuzluğu hayal edebileceğimizi belirtmiştir.
Yani Platon'un Cennetinde bile sonsuzluğu bulamıyoruz.
Ancak matematikçilerin keşfettikleri göz önüne alındığında bu doğru görünmüyor çünkü potansiyel sonsuzluğun 1,2,3,... olduğunu söyleyebilirler; ve bunu w olarak yazacağım ilk sıra omegasında tamamlayabiliriz ; ama sonra bu gösteriyi izleyen ve gizemli bir şekilde kendisine Sokrates diyen dostumuz şunu söylüyor:
"pekala, bu gerçek anlamda sonsuzluk değil - sonsuzluk durduğun yerdir çünkü daha ileri gidemezsin, ama burada görebiliyorum ki gidebilirsin, çünkü ben w +1, w +2, .. ile devam edebilirim; ve sonra kişi bunu tamamlar biri 2w alır ! Ve böylece örüntü tekrarlanır, seri tamamlandığında bunu yeni bir serinin ilk terimi olarak tekrar görebiliriz".
Matematik dilinde w en küçük sonsuz sıra sayısıdır ve onun önem derecesi en küçük sonsuz sayıya eşittir; bir sonraki sonsuz kardinal, sıralı olarak bakıldığında çok büyük bir mesafede olduğunda. Aşağıdaki seriyi zaten tartışmıştık
yani 1,2,3,..., w,w+1,W+2,..,w2,w3,..w^2,..,w^3,..,w^w,.. w^w^w,..,w^w^w^...
ve bu, epsilon-0 adı verilen noktada tamamlanır . Bu hala omega-1 adı verilen ilk sayılamayan sıradan çok daha küçüktür . Aslında bizim yaptığımız türden bir notasyonu kullanarak buna ulaşmak imkansızdır ve Church -Kleene ordinali - omega-1-CK adı verilen ve tam olarak bunu ölçen bir ordinal vardır .
Bu da en azından matematiksel açıdan sıra sayılarının neyi ölçtüğünün söylenebileceğine dair çok yararlı bir anlayış getiriyor; yani kanıt-teorik güç. Aritmetiğin gücü epsilon-0'dır ; Bunu anlamanın doğal bir yolu, bir teoremin kanıtını bir önermeler ağacı olarak hayal etmek ve ağaçların epsilon-0 sıra tipine sahip olduğuna dikkat etmektir .
Yani en azından sıra sayılarının matematikçiler için yararlı olduğunu biliyoruz, çünkü sıra sayıları teorisinin dışındaki bir şeye de uygulanabilirler. Ancak bu, her ne kadar oyalayıcı olsa da, temel şikayetinizi, yani bu sıra sayılarının gerçek dünyada elde edilmesi sorununu çözmüyor.
Bahsettiğiniz paradoks, Zenos'un Akhilleus ve kaplumbağa paradoksunu anımsatıyor; ve bu sorunun klasik çözümünden bahsediyorsunuz. Diğer bir çözüm ise maddenin ve belki de uzayın atomik yapısı gibi alt bölümlere ayrılmanın fiziksel olarak bir sınırının olmasıdır.
Ancak, sizin de yaptığınız gibi, bunlar hakkında düşünmeye başladıkça, klasik çözümün yalnızca bir çözüm olduğunu, belki de tek çözüm olmadığını, hatta belki de yanlış çözümü, yani en iyisi olmadığını fark etmeye başlarsınız .
Sokrates yine devreye girer ve şöyle der:
"Eh, bunların hepsi çok iyi, hem de çok iyi; ama bunların hepsi büyüklük kisvesi altında sonsuzlukla ilgili ; ve bu gizemli sonsuz teriminin kullanılabileceği başka anlamlar da var. Peki ya hepsi ? Mesela görüyorum ki, Küme teorisinde evrensel küme vardır , her şeyi içeren küme ve dolayısıyla sonsuzluğa dair sahip olduğunuz her ustaca kavramı ve aslında henüz kavramadığınız şeyleri de içermesi gerekir."
Elbette Russell bu kavramın doğrudan bir paradoksa yol açtığını keşfetti ve bunu tip teorisini icat ederek çözdü ve sonra kişi yine bir hiyerarşi, tipler, tip tipleri, tip tiplerinin tiplerini elde ettiğini gördü...; yani ona nasıl bakılırsa bakılsın, sonsuzluğun kendisi matematiğin içinde değildir, her zaman potans içinde kalır .
Sokrates burada araya girer, "Spinoza'yı unutuyorsunuz, onun her şeyi, her şeyi açıklamak için güzel bir sistemi vardı - uzamın ve düşüncenin sonsuzluğu , gerçeğin gerçekliği ve gerçek olmayanın gerçek dışılığı, sonsuzun ana kipi içindeki küçük kipler olarak. İyi ve Tanrı; çünkü Platon bize üç dünya gösterirken ve Descarte bunu ikiye indirirken, Spinoza sordu - neden iki ? - eğer bir varsa kendi kendine yeterlidir, ama ikinin olduğu yerde daha fazlası olacaktır . muhtemelen gerçek olamayacak kadar güzel; muhtemelen anlaşılamayacak kadar güzel".
Evet, yalan olamayacak kadar güzel, anlatılmayacak kadar da güzel...
